Обзор существующих математических моделей в экологии. Методы моделирования

Подходы к моделированию экологических систем многочисленны. В данном разделе мы рассмотрим наиболее часто встречающиеся и проведем анализ возможных моделей в различных частях биосферы. Проведя анализ литературных источников мы пришли к выводу, что большинство математических моделей построены по основным, уже ранее известным принципам. Качественное моделирование Качественное моделирование наименее требовательно к наличию информации. Для его использования необходимо лишь ввести переменные и решить, является ли отношение между ними положительным (увеличение А влечет увеличение В), отрицательным (увеличение А влечет уменьшение В) или нейтральным (увеличение А непосредственно не влияет на В). Можно усовершенствовать этот метод, введя данные об амплитуде эффектов взаимодействия (удвоение величины А влечет уменьшение вдвое величины В и т.д.). Метод допускает также существование факторов различной важности и возможность того, что находясь, например, вблизи максимума, факторы будут действовать сильнее, чем вблизи минимума. Метод можно использовать для учета большого числа количественных деталей, однако тогда он будет скорее имитационным, чем качественным. Достоинство этого метода заключается в том, что он позволяет проследить связь между динамикой системы, с одной стороны, и характером 50 взаимодействия между переменными – с другой, когда информация недостаточна для построения имитационной модели. Модель этого типа может дать лишь грубое качественное описание тенденций в динамике переменных и непригодна для повседневно встречающихся случаев, чувствительных к точному количественному балансу между переменными. Матрица Леопольда Матрица Леопольда и многие ее варианты представляют собой таблицу воздействий, включающую в себя по вертикали список возможных действий (отвод воды, строительство дорог и т.д.), а по горизонтали – множество потенциальных индикаторов воздействия. a b c d e a 2/1 8/5 b 7/2 8/3 3/1 9/7 Рис. 1.1. Фрагмент матрицы Леопольда В первоначальном ее варианте по горизонтали были перечислены 100 действий, способных повлиять на окружающую среду, а по вертикали – 88 характеристик окружающей среды. Воздействие, соответствующее пересечению каждого действия и каждого фактора, описывается через его амплитуду и важность. Амплитуда – это мера общего уровня. Например, постройка дорог изменит или вредно повлияет на существующую систему водостока и, таким образом, может оказать большое воздействие на сток. Важность – это мера значимости отдельного действия человека в каждом конкретном случае. Важность влияния конкретной дороги на сток может быть незначительной вследствие малой длины дороги или потому, что именно в данном конкретном случае дорога не сильно препятствует стоку. Если каждое взаимодействие оценивать двумя числами, то удастся отделить фактические данные, которые легче получить путем измерения амплитуд, от более субъективных оценок важности, выраженных в баллах. Леопольд предложил инструкцию по использованию этой матрицы: – изучить все действия (расположенные в верхней части матрицы), входящие в предполагаемый проект; – под каждым из действий, способных оказать воздействие, на пересечении с соответствующей строкой матрицы сделать разрез; – в верхнем левом углу каждой клетки с разрезом поместить число от 1 до 10, определяющее амплитуду возможного воздействия; 10 соответству- 51 ет наибольшей амплитуде, 1 – наименьшей (ненулевой); перед каждым числом поставить «+», если воздействие выгодно для человека; в нижнем правом углу клетки поместить число от 1 до 10, определяющее важность возможного воздействия; – в прилагаемом к матрице тексте должно содержаться обсуждение наиболее важных воздействий, а также тех строчек и столбцов, которые содержат ячейки с наибольшими числами. Основная проблема, возникающая в связи с использованием матриц воздействия, состоит в том, что схема «действие – единичный эффект» нереалистична. Возникают трудности определения последовательности воздействий и вызывающих их причин. Кроме того, наличие 8800 ячеек делает матрицу Леопольда громоздкой для вычислений. Такие матрицы длительное время являлись общепринятым методом оценки воздействия на окружающую среду в Северной Америке. Существуют усовершенствованные вариации этого метода, в которых устранены отдельные недостатки, однако общая структура их не изменилась. Статистические модели Статистические модели строят на допущении, о том, что моделируемый процесс случаен по своей природе. Для исследования применяют статистические методы, в частности методы Монте-Карло. В основе их лежит использование случайных чисел. Имеется точка зрения, согласно которой закономерности функционирования сложных систем (объекты биосферы и геосистемы) «существенно вероятностны». Таким образом, можно предположить, что методы Монте-Карло будут высокоэффективными методами компьютерного моделирования в экологии. Кроме того, статистические модели успешно применяют при неполной информации о моделируемых объектах. Исследование этими методами, как правило, дает лишь вероятностные оценки поведения экосистемы, что не всегда приемлемо. Статистические модели, хотя и не являются основными методами моделирования, могут применяться в качестве составных частей более сложных моделей, внося в них элемент случайности. Модели типа «хищник – жертва» Модели типа «хищник – жертва» или «паразит – хозяин» — классические модели биоэкологии, их применяют для изучения частных случаев взаимодействия популяций нескольких видов. Модель типа «хищник – жертва» – одна из первых моделей теоретической экологии (или теоретической биологии). Однако взаимодействием двух-трех и даже более видов, которые реализуются в таких моделях, не исчерпывается динамика объектов окружающей среды, поэтому данные 52 модели не являются универсальными и имеют прикладное значение. В частности, модели этого типа получили широкое распространение в микробиологии. Экологические процессы включают в себя рост, воспроизведение, конкуренцию, хищничество и естественный отбор. Хищничество — один из процессов, наиболее подробно описанных документально. Существуют уравнения пищевой конкуренции и роста численности популяции и т.д. В основе их лежат уравнения Вольтерра – Лотки, предложенные для модели «хищник – жертва». Имитационные модели Имитационные модели применяют в тех случаях, когда можно воспользоваться большим количеством теоретических и экспериментальных работ в исследуемой области и обосновать функциональное представление соотношений между переменными, используемыми при моделировании. В большинстве случаев соотношения между этими переменными есть результат изучения статистических зависимостей между ними. Суть имитационного моделирования заключается в попытке формализации с помощью компьютера любых эмпирических знаний о рассматриваемом объекте. Имитационная модель представляет собой полное формализованное описание изучаемого явления «на грани нашего понимания». Слова «на грани нашего понимания» означают понимание причинноследственных связей между событиями. Для создания качественной модели требуется точная схема причинноследственных связей. Однако стремление к реализму в модели не должно приводить к излишней детализации. Выход заключается в том, чтобы ограничиться минимумом учитываемых факторов, при котором модель остается точным и работоспособным представлением ключевых эффектов. В этих условиях математический аппарат будет второстепенным. Большего внимания требует содержательная часть моделирования. При моделировании сложные системы разбивают на подсистемы, поэтому модель предстает как некий комплекс подмоделей. Последние строят, используя в каждой из них различный математический аппарат. О характере некоторых процессов известно из источников, о других — практически ничего неизвестно; некоторые взаимосвязи можно адекватно описать с помощью простых функций, анализ других требует сложного математического аппарата. Именно это обстоятельство приводит к использованию имитационного моделирования как метода анализа. Благодаря имитационным моделям можно манипулировать функциями и отношениями и полнее использовать имеющиеся знания. 53 Метод Монте-Карло В природе часто встречаются системы, в распределении которых нет видимых закономерностей. Это относится, например, к расположению деревьев на однородном участке леса. Случайными по времени можно считать внешние воздействия на исследуемую систему, такие, например, как метеорологические факторы, а случайными флуктуациями — передвижение микроорганизмов в окружающей их среде. Если какие-либо факторы подчиняются определенным закономерностям, то при некоторых условиях их можно моделировать случайными процессами. Например, при изучении развития популяции микроорганизмов исследователя не интересует появление или гибель отдельной бактерии. При больших количествах микроорганизмов рождаемость, смертность и питание подчиняются строгим статистическим закономерностям. Если известно, что в течение какого-то периода погибает некоторая часть популяции, то неважно, какие именно особи исчезнут, можно считать, что этот процесс случаен. Метод Монте-Карло заключается в использовании случайных чисел для моделирования различных объектов, ситуаций и физических явлений, реализации игр и др. Существует многочисленное количество и других методов моделирования состояния окружающей среды, которые также являются основой для построения математических моделей.