Тема. МОДЕЛИРОВАНИЕ И АНАЛИЗ ЭКОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Мы
определили понятие «модель» как формальное выражение основных элементов
проблемы в физических или математических терминах, которое отображает свойства
объекта исследования, взаимосвязи, структурные и функциональные параметры.
Теперь необходимо уточнить это описание с тем, чтобы понять, что кроется за
важнейшим этапом системного анализа – этапом построения модели и за выбором
подходящей модели для решения конкретной проблемы. Рассмотрим вначале, что
подразумевается под термином «формальные выражения» и почему при этом
используются именно физические или математические термины. Формальное выражение
проблемы или объекта исследования можно рассматривать как первый и необходимый
этап построения модели, который состоит из формализации проблемы, т.е. из
упорядочения информации, выявления и описания взаимосвязей в виде логических
структур, формул или физических (материальных) моделей.
Модель
называется абстрактной (концептуальной) либо материальной (физической) в
зависимости от того, какой системой она является, т.е. от выбора средств
моделирования. Абстрактной моделью может быть, в частности, система
математических выражений, описывающих характеристики объекта моделирования и
взаимосвязи между ними (математическая модель). Модели с конкретными числовыми
значениями характеристик называются числовыми моделями, записанные с помощью
логических выражений – логическими моделями, модели в графических
образах – графическими моделями (графики, диаграммы, рисунки). К
логическим моделям обычно относят блок-схемы алгоритмов и программы для ЭВМ. В
зависимости от типа применяемых вычислительных машин различают аналоговые и
дискретные (цифровые) модели. Вместе с тем аналоговые модели могут
рассматриваться и как материальные, поскольку они основаны на получении
физического (электрического, механического и т.п.) образа исследуемого
процесса. Большое распространение имеют и такие материальные модели, как
уменьшенные макеты, искусственные биосистемы (аквариумы), действующие модели
различных приборов и устройств или просто словесное описание и т.п.
Мы
остановились лишь на некоторых общих свойствах моделей. Еще одно преимущество
использования математических моделей состоит в том, что опытный аналитик
способен распознавать семейства моделей аналогично тому, как опытный ботаник
часто может отнести данное растение к определенному роду, даже когда ему
неизвестен этот вид. В рамках нашего курса невозможно рассмотреть все
существующие семейства моделей, поэтому мы остановимся лишь на тех из них, с
которыми пользователи системного анализа сталкиваются наиболее часто, а именно:
1)
словесные модели,
2)
динамические модели,
3)
детерминистские и стохастические модели,
4)
матричные модели,
5)
многомерные модели,
6)
оптимизационные модели и некоторые другие.
Как
мы видим, этот список далеко не полный, а его категории к тому же не
взаимоисключающие. Но этой классификации достаточно, чтобы дать представление о
некоторых математических моделях, применимых для решения практических задач, и
проиллюстрировать основные требования, предъявляемые к моделям прикладного
системного анализа.
Прежде
чем обратиться к семействам различных математических моделей, подытожим
преимущества и недостатки применения математических моделей в прикладном
системном анализе.
Преимущества
математических моделей состоят в том, что эти модели точны и абстракты, что они
передают информацию логически однозначным образом. Модели точны, поскольку они
позволяют делать предсказания, которые можно сравнить с реальными данными,
поставив эксперимент или проведя необходимые наблюдения. Модели абстрактны,
т.к. символьная логика математики извлекает те элементы, которые важны для
дедуктивной логики рассуждения, исключая, таким образом, все посторонние
значения, которые могут быть приданы словам. Математические модели позволяют
использовать всю совокупность накопленных знаний о поведении взаимосвязей, так
что логически связанные суждения об изучаемой системе можно вывести, не
повторяя все предыдущие исследования. Математические модели дают нам важное
средство коммуникации благодаря однозначности символьной логики, используемой в
математике, – средство, которое в значительной степени лишено недостатков,
свойственных обычному языку.
Недостатки
математических моделей заключаются во внешней сложности символьной логики. Эта
сложность отчасти неизбежна, если изучаемая проблема сложна, вполне возможно,
что сложным окажется и математический аппарат, необходимый для ее описания.
Отсутствием корректной интерпретации результатов сложных методов анализа
страдают многие научные статьи, видимо, вследствие того, что этот вопрос
обсуждается намного реже, чем соответствующие математические аспекты
исследования.
Но,
пожалуй, самый большой недостаток математических моделей связан с тем
искажением, которое можно привнести в саму проблему, упорно отстаивая
конкретную модель, даже если в действительности она не соответствует фактам, а
также с теми трудностями, которые возникают иногда при необходимости отказаться
от модели, оказавшейся неперспективной. Именно поэтому необходимо помнить, что
моделирование в прикладном системном анализе – это лишь один из этапов
широкой стратегии исследования. Мы должны внимательно следить за тем, чтобы моделирование
не превратилось в самоцель!
3.2. Словесные и математические модели
Некоторые
специалисты по системному анализу считают построение «словесной» модели важным
этапом, на котором объединяется все, что связано с решаемой проблемой, с целью
выделения той части системы, которую, с их точки зрения, необходимо
исследовать. Часто несколько ученых, занимающихся одной и той же проблемой, не
соглашаются с описанием своих коллег, предложенным для данной экологической
системы; разногласия же по поводу частных элементов системы, которые прямо или
косвенно связаны с практическими задачами исследования, возникают еще чаще. Что
же касается больших групп исследователей, занимающихся сложными проблемами, к
которым применим системный анализ, то здесь эти разногласия бывают весьма
глубокими и трудноразрешимыми. Поэтому есть все основания потратить
определенное время на то, чтобы найти описание, удовлетворяющее всех
заинтересованных исследователей, даже если в нем будут некоторые пробелы,
отражающие те моменты, по которым не удалось прийти к общему мнению. Такое
описание может во многом помочь на стадиях постановки задачи и ограничения ее
степени сложности и установления иерархии целей и задач исследования. В такой
роли «словесная» модель может принести неоценимую пользу. Некоторые
исследователи не согласны с термином «словесная» модель и считают все, что
подразумевается под этим термином, – есть некое описание и нет нужды
присваивать ему какое-то сложное название.
Стоит заметить, что опытные
специалисты в области системного анализа не считают нужным делать упор на
«словесные» модели, когда исследование уже выходит из стадий постановки задачи,
ограничения степени ее сложности и установления иерархии целей и задач. Это
обусловлено тем, что опытный аналитик способен быстро перейти к построению
целого ряда математических моделей и считает, что быстрее всего к решению
проблемы его приведет выбор наиболее подходящей из них.
Сила
математики заключается в ее способности выражать идеи и особенно сложные связи
с помощью символьной логики, сохраняя в то же время простоту и рациональность
выражения. Целое знание математической системы обозначений покоится на
экономичном выражении связей через символьную логику, и это выражение является
«формальным» в том смысле, что из него можно формальными способами получить
некоторые предсказания. Не будь этой способности предсказывать результаты
изменений одного или более элементов связей, мы бы не могли считать эти выражения научной, а не просто
литературной записью. Поэтому использование математических обозначений в
моделировании сложных систем является попыткой дать содержательную символику,
которая упрощает, но не слишком искажает основные взаимосвязи. Различные
математические правила манипулирования со связями системы позволяют нам делать
предсказания относительно тех изменений, которые могут произойти в
экологических системах, когда изменяются их составляющие. Такие предсказания в
свою очередь позволяют сравнивать модельные системы с теми реальными объектами,
которые они должны представлять, и проверять тем самым адекватность модели
наблюдениям и экспериментальным данным. В сущности даже манипуляции с самой
модельной системой могут подсказать, какие реальные эксперименты необходимо
поставить для проверки адекватности модели.
Некоторые
исследователи делают различия между моделями и «имитациями». «Имитацией» они
считают максимально подробное математическое описание с какой-то практической
целью, а под термином «модель» понимают описание общих идей, содержащее как
можно меньше деталей. Но мы не будем делать этого различия, считая моделью
любое формальное описание связей между определенными символами, эти модели мы
будем применять, как правило, для того, чтобы имитировать реакцию экологической
системы в ответ на различные воздействия. Таким образом, в прикладном системном
анализе мы будем стремиться к слиянию понятий «модель» и «имитация».
В
общем случае математические модели классифицируют на детерминистские и
стохастические, хотя в последнее время в связи с бурным развитием
вычислительной техники и различных приложений практически все модели являются
смешанными и еще с элементами имитации.
Если
предыдущее состояние системы однозначно определяет последующее состояние, то
система или модель называется детерминистской. В качестве примера можно
привести модели, описанные с помощью дифференциальных уравнений. Если, зная
состояние системы в данный момент времени, можно лишь указать вероятности
наступления того или иного состояния в следующий момент времени, то система
называется вероятностной или стохастической. Для описания и исследования таких
систем применяется математический аппарат теории случайных процессов.
Существует
деление математических моделей и по способу описания динамики моделируемого
объекта. Если и время, и состояние моделируемого объекта описываются на
бесконечных непрерывных множествах (например время и численность популяции), то
называют такую модель непрерывно-непрерывной (системы дифференциальных
уравнений). Если время принимает только целые положительные значения, а
состояние – на непрерывных множествах, то такая модель называется
дискретно-непрерывной (уравнения в конечных разностях). Если и время, и
состояние моделируемой системы описываются на дискретных множествах, то такую
модель называют дискретно-дискретной. Примером может служить оценка численности
популяции в баллах (мало, немного, много особей и т.д.). В этом случае
применяется математический аппарат теории конечных автоматов, сюда можно
отнести матричные модели и т.п.
Прежде
чем двигаться дальше, нам нужно дать некоторые определения, отражающие основные
концепции. Однако делать это целесообразно на примере каких-либо простых
моделей, которые мы сейчас рассмотрим.
Одной
из простейших моделей роста популяции организмов является модель, заданная
дифференциальным уравнением:
,
(3.1)
где
y –
плотность популяции в момент t,
r –
константа. Один из примеров биологического процесса, который может быть
представлен подобной моделью, – это рост бактериальной культуры до того,
как начнет истощаться среда. Здесь скорость роста в любой момент времени равна
постоянной доле от плотности популяции в этот момент. Выражая эту связь в такой
форме, мы можем, решая уравнение (3.1), получить выражение для плотности
популяции в любой момент времени:
,
(3.2)
где y– плотность популяции в момент t, y0 – плотность в момент t=0, r –
константа, а e –
основание натурального логарифма.
Эта простая экспоненциальная модель имеет довольно ограниченное
применение, поскольку плотность популяции организмов будет по мере исчерпания
питательных веществ достигать некоторого стационарного значения. Альтернативной
моделью, обладающей данным свойством, является дифференциальное уравнение:
,
(3.3)
где
y – вновь
плотность популяции в момент времени t, a
и b – константы.
Аналогично, решая дифференциальное уравнение, получим:
.
(3.4)
Эта
логистическая модель достаточно хорошо описывает рост бактериальных популяций в
условиях, когда запасы питательных веществ ограничены. Сначала рост популяции
носит экспоненциальный характер, а затем, по мере исчерпания ресурсов,
постепенно замедляется, пока плотность популяции не достигнет постоянного уровня
или асимптоты. Более того, предсказать, что этот постоянный уровень равен a/b, мы можем при помощи простых
алгебраических манипуляций с исходной моделью, т.е. посредством логической
дедукции в рамках символьной логики математического выражения нашей модели.
Иными словами, выражая модель в абстрактных математических терминах, мы сразу
же приобретаем возможность получения из модели дальнейшей информации. Обе
модели являются детерминистскими в том смысле, что при заданных значениях
констант плотность популяции в данный момент времени t всегда одна и та же: величина Y однозначно
определяется значением t.
Модели,
задаваемые дифференциальными уравнениями, были разработаны вначале в
приложениях математики к физике и, естественно, что в поисках моделей для
экологии нам прежде всего стоит посмотреть, нельзя ли использовать то, что было
развито в других областях.
Мы можем, однако, строить наши модели совершенно иным способом, положив в их основу изменчивость живых организмов, тогда это будут вероятностные или стохастические модели. В подобных моделях используется совсем иная область математики, развившаяся позже, чем дифференциальное исчисление и дифференциальные уравнения. Легко видеть, что если основой для имитации служит стохастическая модель, то результаты имитации будут различаться, даже если константы и начальные условия одинаковы. Эту вариабельность обеспечивают вероятностные элементы модели; назначение таких моделей именно в том и состоит, чтобы отразить изменчивость, характерную для живых организмов и экологических систем. Что же касается постановки реального эксперимента, то обычно бывает необходимо провести целую серию имитаций, с тем чтобы определить, как система реагирует на различные воздействия.
Итак,
мы вкратце рассмотрели два типа моделей:
1)
детерминистские модели, в которых предсказываемые значения могут быть точно
вычислены;
2)
стохастические модели, в которых предсказываемые значения зависят от распределения
вероятностей.
Это
различие важно иметь в виду, и далее мы рассмотрим, как с помощью распределения
вероятностей осуществляется подгонка моделей, т.е выбор таких значений
параметров, при которых предсказанные величины достаточно близки к результатам наблюдений.
Оценка таких параметров требует применения статистических методов, которые
опираются на теорию вероятностей. И здесь следует различать популяцию и
выборку. Под популяцией понимается такое множество индивидов, свойства
которых мы хотим исследовать. Эти индивиды могут быть организмами, экосистемами
или даже любой характеристикой организмов или экосистем.
Выборка –
это любое конечное множество индивидов, извлеченное из популяции, при этом
считается, что выборка делается таким образом, что вычисленные по ней величины
являются показательными (репрезентативными) для всей популяции и могут поэтому
рассматриваться как оценки соответствующих величин для этой популяции. Методы,
которыми проводятся выборки, мы рассматривать не будем.
Величины,
характеризующие популяцию в целом, определим как параметры либо как константы
или коэффициенты в уравнениях модели. Необходимо все время помнить о разнице
между параметрами и выборочными оценками.
Уравнения,
задающие модель, будут содержать два типа переменных. По крайней мере, одна из
переменных будет зависимой в том смысле, что она меняется при изменении других
переменных. В рассмотренных выше примерах такой величиной является плотность
популяции y.
Другие переменные считаются независимыми, например t.
Определим
подгонку моделей как выбор таких значений параметров, при которых предсказанные
значения величин достаточно близки к наблюдаемым. В действительности,
вероятность того, что параметры отвечают данным наблюдений, мы будем
рассматривать как математическую функцию этих параметров и определим ее как функцию
правдоподобия. Эта функция является мерой соответствия между моделью и
данными, а те значения параметров, для которых правдоподобие максимально,
называются оценками максимального правдоподобия.
Кроме
того, наши модели подразделяются еще на две категории, а именно аналитические и
имитационные.
Аналитические
модели – это те, в которых для определения значений предсказываемых
величин получаются выражения в явном виде, сюда относятся регрессионные и
многомерные модели, модели планирования эксперимента и стандартные
теоретические статистические распределения.
Имитационные
модели – это те, которые могут быть описаны с помощью набора определенных
математических операций, таких как решение дифференциальных уравнений, повторное
применение переходной матрицы или использование случайных чисел, различные
регрессии. Преимущество имитационных моделей состоит в том, что их легче
построить не математику, но подогнать их под данные наблюдений обычно труднее,
чем аналитические модели.
К
динамическим моделям можно отнести все модели, где рассматриваются различные
параметры биосистем в динамике от времени или другой независимой величины.
Всякое
практическое использование динамических моделей зависит от способности
современных ЭВМ решать большое число (сотни) уравнений за короткие промежутки
времени. Эти уравнения являются более или менее сложными математическими
описаниями того, как функционирует имитируемая система, и даются они в форме
выражений для уровней различных типов, темп изменения которых регулируется
управляющими функциями. Уравнения для уровней описывают накопления в системе
таких величин, как масса, численность организмов или количество энергии, а
уравнения для темпов управляют изменением этих уровней во времени. Управляющие
функции отражают правила, явные или неявные, которые регулируют
функционирование системы. Математические модели системы могут отображать ее
лишь с той степенью точности, с какой уравнения, описывающие свойства
компонентов модели, отображают свойства компонентов реальной системы.
Популярность динамических моделей обязана большой гибкости методов, применяемых
для описания динамики систем, которая включает нелинейные реакции компонентов
на регулирующие переменные, а также положительные или отрицательные обратные
связи. Такая гибкость имеет и свои недостатки. Например, невозможно учесть
уравнения для всех компонентов системы, так как даже при наличии современных
ЭВМ имитация быстро становится слишком сложной. Поэтому необходимо иметь некоторую
абстракцию, основанную на здравом смысле и допущениях о функционировании
экосистемы.
При
использовании системной динамики в моделировании выделяют три главных этапа:
· Во-первых, нужно установить, какое именно
динамическое свойство системы представляет интерес и сформулировать гипотезы о
взаимодействиях, порождающих данное свойство.
· Во-вторых, компьютерная имитационная модель
должна быть построена таким образом, чтобы она дублировала элементы поведения и
взаимодействий, определенные как существенные для системы.
· В-третьих, когда мы убедимся в том, что
поведение модели достаточно близко к поведению реальной системы, мы используем
модель, чтобы понять последовательность изменений, наблюдаемых в реальной
системе, и предложить эксперименты, которые нужно поставить на стадии оценки
потенциальных стратегий, т.е на следующем этапе системного анализа.
Многих
экологов привлекает к динамическим моделям наличие специально ориентированных
языков и программирующих систем для их машинной реализации, чтобы исследователю
не обучаться современным методам программирования. Эти программирующие системы
призваны облегчить общение не только между исследователями и ЭВМ, но и между
самими исследователями. Важной чертой таких имитационных программирующих систем
является то, что все процессы и их детали могут быть представлены в
концептуальной, а не вычислительной форме. Сама программирующая система
включает некую процедуру сортировки, которая упорядочивает все расчеты и
процессы интегрирования в эффективный алгоритм. В результате этого программа
имитации может быть представлена в более понятной форме, а ряд концептуальных
ошибок и ошибок программирования выявляются самой системой. Тем не менее многие
предпочитают записывать свои программы имитации на языках высокого уровня.
Работая с языками, мы избавляемся от ограничений и правил, присущих любому
специально ориентированному языку.
Основные
характеристики динамических моделей состоят в том, что экологическая система
рассматривается в динамике во времени, т.е. происходит изменение количественных
характеристик (численности, биомассы) в динамике, описываемой непрерывными
функциями.
Трудности
динамических моделей заключаются в том, что не всегда легко предсказать поведение даже самых простых моделей. Достаточно лишь
одной нелинейности и двух петель обратной связи, чтобы поведение модели стало
«контринтуитивным», т.е. противоречило нашим интуитивным представлениям о
системе. С другой стороны, ничего не стоит построить модель, не совпадающую с
действительностью или неустойчивую. Еще одна трудность связана с тем, что для
выяснения механизма функционирования модельной системы обычно необходимо
провести много специальных экспериментов с моделью. Например, всегда приходится
проверять поведение модели в ответ на одновременное изменение двух или более
входных переменных и только в редких случаях достаточно проверить реакцию на
изменение лишь одной переменной.
Трудности, связанные с
предсказанием поведения динамических моделей, заметно снижают их роль в
дальнейшем развитии теории. Естественно, что наибольшие трудности в построении
математических моделей связаны с проверкой основных допущений, необходимых для
применения модели, но часто эта проверка бывает более легкой и математически
строгой, нежели поиск сложных типов поведения и разрывностей в динамических
моделях. Еще один недостаток в том, что они не всегда дают оценки значений
основных параметров, особенно когда их число достаточно велико, а использование
метода итераций довольно трудоемко даже для супер ЭВМ (много времени, плохо сходятся
оценки).
Динамические
модели по своей природе и математической структуре нацелены в основном на
получение детерминистских решений. Правда, в них могут включаться
стохастические элементы, но иногда это сопряжено с трудностями.
Итак, динамические модели могут
быть особенно полезны на ранних стадиях системного анализа сложных
экологических систем, поскольку они направлены на выявление основных связей в
системе и тех переменных и подсистем, которые являются ключевыми. На более
поздних этапах целесообразнее сосредоточить усилия на использовании какого-либо
другого семейства моделей, именно поэтому в системном анализе выделена стадия
получения альтернативных решений проблемы.
Комментарии
Отправить комментарий